有限数学示例

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 1

将 $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ 写为等式。

$y = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 2

交换变量。

$x = (9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$

Step 3

求解 $y$ 。

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将方程重写为 $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$ 。

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$

求解 $\sqrt{y}$ 。

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化简 $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ 。

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使用 FOIL 方法展开 $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ 。

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运用分配律。

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y} + 3) - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

运用分配律。

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

运用分配律。

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

化简并合并同类项。

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化简每一项。

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使用乘法的交换性质重写。

$9 \cdot 7 \sqrt{y} \sqrt{y} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

通过指数相加将 $\sqrt{y}$ 乘以 $\sqrt{y}$ 。

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移动 $\sqrt{y}$ 。

$9 \cdot 7 (\sqrt{y} \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

将 $\sqrt{y}$ 乘以 $\sqrt{y}$ 。

$9 \cdot 7 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

将 $9$ 乘以 $7$ 。

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

将 $7$ 乘以 $- 5$ 。

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 5 \cdot 3 = x$

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 15 = x$

从 $27 \sqrt{y}$ 中减去 $35 \sqrt{y}$ 。

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 = x$

从等式两边同时减去 $x$ 。

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 - x = 0$

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

将 $a = 63$ 、 $b = - 8$ 和 $c = - 15 - x$ 的值代入二次公式中并求解 $\sqrt{y}$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (63 \cdot (- 15 - x))}}{2 \cdot 63}$

化简。

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化简分子。

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对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

将 $- 4$ 乘以 $63$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

运用分配律。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

将 $- 252$ 乘以 $- 15$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

将 $- 1$ 乘以 $- 252$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

将 $64$ 和 $3780$ 相加。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

从 $3844 + 252 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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从 $3844$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

从 $252 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

从 $4 (961) + 4 (63 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

将 $4 (961 + 63 x)$ 重写为 $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ 。

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将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

将 $961$ 重写为 $31^{2}$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

从根式下提出各项。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

对 $31$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

将 $2$ 乘以 $63$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ 。

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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化简分子。

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对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

将 $- 4$ 乘以 $63$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

运用分配律。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

将 $- 252$ 乘以 $- 15$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

将 $- 1$ 乘以 $- 252$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

将 $64$ 和 $3780$ 相加。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

从 $3844 + 252 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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从 $3844$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

从 $252 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

从 $4 (961) + 4 (63 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

将 $4 (961 + 63 x)$ 重写为 $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ 。

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将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

将 $961$ 重写为 $31^{2}$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

从根式下提出各项。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

对 $31$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

将 $2$ 乘以 $63$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ 。

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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化简分子。

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对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

将 $- 4$ 乘以 $63$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

运用分配律。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

将 $- 252$ 乘以 $- 15$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

将 $- 1$ 乘以 $- 252$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

将 $64$ 和 $3780$ 相加。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

从 $3844 + 252 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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从 $3844$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

从 $252 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

从 $4 (961) + 4 (63 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

将 $4 (961 + 63 x)$ 重写为 $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ 。

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将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

将 $961$ 重写为 $31^{2}$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

从根式下提出各项。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

对 $31$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

将 $2$ 乘以 $63$ 。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ 。

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$\sqrt{y} = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

最终答案为两个解的组合。

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{y}}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

化简方程的两边。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

化简左边。

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化简 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

重写表达式。

$y^{1} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

化简。

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ 是否为 $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ 的反函数。

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反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

求 $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ 的值域。

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值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- \frac{961}{63}, - 15]$

求 $\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$ 的定义域。

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将 $\sqrt{961 + 63 x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$961 + 63 x \geq 0$

求解 $x$ 。

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从不等式两边同时减去 $961$ 。

$63 x \geq - 961$

将 $63 x \geq - 961$ 中的每一项除以 $63$ 并化简。

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将 $63 x \geq - 961$ 中的每一项都除以 $63$ 。

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

化简左边。

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约去 $63$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{- 961}{63}$

化简右边。

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将负号移到分数的前面。

$x \geq - \frac{961}{63}$

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- \frac{961}{63}, \infty)$

因为 $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ 的定义域并不等于 $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ 并非 $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ 的反函数。

不存在反函数

Step 6

有限数学 示例

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